LÓGICA PROPOSICIONAL

LÓGICA PROPOSICIONAL

La lógica proposicional o lógica de orden cero es la rama de la lógica matemática que estudia proposiciones, afirmaciones u oraciones, los métodos de vincularlas mediante conectores lógicos y las relaciones y propiedades que se derivan de esos procedimientos. Es una herramienta útil para razonar, pero no puede resolver problemas que requieren analizar la estructura interna de las proposiciones o de las relaciones entre ellas. Este tipo de lógica considera las proposiciones como elementos atómicos y no tiene cuantificadores o variables de entidad.

CONECTIVOS LÓGICOS

Conectivo	Significado	Proposición Compuesta	Nombre en lógica
˄	Y	P ˄ Q	Conjunción
˅	O	P ˅ Q	Disyunción
˜	NO	˜ P	Negación
→	Si…entonces	P→Q	Condicional
↔	Si y solo si	P↔Q	Bicondicional

LEYES DE DE MORGAN

Las leyes de Morgan son reglas de inferencia usadas en lógica proposicional, que establecen cuál es el resultado de negar una disyunción y una conjunción de proposiciones o variables proposicionales. Estas leyes fueron definidas por el matemático Augustus De Morgan.

Las leyes de de Morgan consisten en dos equivalencias lógicas entre dos formas proposicionales, a saber:

• ·         La primera ley de De Morgan: afirma que la negación de una conjunción de la forma p⌃q equivale a la disyunción de las proposiciones moleculares negadas. Aquí p y q son proposiciones y el conector ⌃ es una conjunción.
• ·         La segunda ley de De Morgan sostiene que la negación de una disyunción de tipo p v q, donde v indica disyunción, equivale a la conjunción de las proposiciones moleculares negadas. Es decir, siendo p v q dos proposiciones no compuestas cualesquiera, unidas en una proposición molar o compuesta por una conjunción o una disyunción, sus equivalentes lógicos toman la forma de las expresiones.

Estas leyes permiten separar la negación de una disyunción o conjunción, como negaciones de las variables involucradas.

La primera se puede leer de la siguiente manera: la negación de una disyunción es igual a la conjunción de las negaciones. Y la segunda se lee así: la negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones.

En otras palabras, negar la disyunción de dos variables proposicionales equivale a la conjunción de las negaciones de ambas variables. Así mismo, negar la conjunción de dos variables proposicionales es equivalente a la disyunción de las negaciones de ambas variables.

Como se mencionó anteriormente, la sustitución de esta equivalencia lógica ayuda a demostrar resultados importantes, junto con las otras reglas de inferencia existentes. Con estas se pueden simplificar muchas fórmulas proposicionales, de manera que sean más útiles para trabajar.

El siguiente es un ejemplo de una demostración matemática utilizando reglas de inferencia, entre estas las leyes de Morgan. Específicamente, se demuestra que la fórmula:

Es equivalente a: 

Demostración

VARIABLES DE LA CONDICIONAL

La probabilidad condicional puede definirse con diversos grados de formalización. Intuitivamente podemos decir que la probabilidad condicional P(A/B) de un suceso A dado otro suceso B es la probabilidad de que ocurra A sabiendo que B se ha verificado. Desde un punto de vista más formal, se define mediante la expresión: P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B), siempre que P(B) > 0. El primer punto en nuestros estudios fue ver si estas definiciones se comprenden, para lo cual se pidió a los alumnos que dieran de una definición intuitiva de probabilidad simple y de probabilidad condicional.

“En la probabilidad condicional, para que se dé un suceso, se tiene que dar otro”.

Matemáticamente puede deducirse de la regla del producto de probabilidades, mediante la expresión: A y B son independientes si y sólo si P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

EJEMPLO:

a.)    Al 25% de tus amigos le gusta la fresa y el chocolate, mientras que al 60% le gusta el chocolate. ¿Cuál es la probabilidad de que a un amigo que le gusta el chocolate, le guste la fresa?

Solución:
Vamos a trabajar con 2 eventos: que a un amigo le guste la fresa, y que a un amigo le guste el chocolate. 

·         Evento A: que a un amigo le gusten la fresa. P(A) =?

·         Evento B: que a un amigo le guste el chocolate. P(B) = 60 %.

·         Evento A y B: que a un amigo le guste la fresa y el chocolate. P(A∩B) = 25 %.

Ahora calculamos la probabilidad de que a un amigo le guste la fresa, dado que le gusta el chocolate.

La probabilidad de que a un amigo le guste la fresa dado que le gusta el chocolate es del 41,67 %.

b.)    El 76 % de los estudiantes de Ingeniería Civil han aprobado resistencia de materiales y el 45 % aprobaron estática. Además, el 30 % aprobaron resistencia de materiales y estática. Si Camilo aprobó resistencia de materiales, ¿qué probabilidad tiene de haber aprobado también estática?

Solución:
Vamos a trabajar con 2 eventos: aprobar resistencia de materiales, y aprobar estática.

·         Evento A: aprobar resistencia de materiales. P(A) = 76 %.

·         Evento B: aprobar estática. P(B) = 45 %.

·         Evento A y B: aprobar resistencia de materiales y estática. P(A∩B) = 30 %.

Ahora calculamos la probabilidad de aprobar estática, dado que se aprobó resistencia de materiales.

Juicio Crítico

La lógica proposicional es el sistema lógico más simple y básico que existe por medio de ella podemos saber cuando se dice una verdad o alguna mentira y bueno para ello necesitamos de herramientas las cuales mediante un proceso de conectividad y tablas de verdad podremos saber si una oracion es falda o verdadera, lo interesante de esto es que  debemos saber que  Sus constantes lógicas son las conectivas y la negación; las primeras vinculan dos oraciones para formar una nueva oración compuesta, la última ópera sobre una sola oración.

Todo esto lo podemos aplicar a la. Vida diaria cuando pasamos por alguna situación en la cual desconocemos de la veracidad conque  nos hablan sabiendo utilizar de manera correcta la lógica llegaremos a tomar una decisión correcta en la situación que estamos pasando.

Definiciones: Jaqueline Silvestre

Antony Herrera

Ejemplos: Ana Velasco

Bryan Ríos

Juicio Crítico: Erick Hernández

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