LÓGICA PROPOSICIONAL

LÓGICA PROPOSICIONAL

La lógica proposicional o lógica de orden cero es la rama de la lógica matemática que estudia proposiciones, afirmaciones u oraciones, los métodos de vincularlas mediante conectores lógicos y las relaciones y propiedades que se derivan de esos procedimientos. Es una herramienta útil para razonar, pero no puede resolver problemas que requieren analizar la estructura interna de las proposiciones o de las relaciones entre ellas. Este tipo de lógica considera las proposiciones como elementos atómicos y no tiene cuantificadores o variables de entidad.

CONECTIVOS LÓGICOS

Conectivo	Significado	Proposición Compuesta	Nombre en lógica
˄	Y	P ˄ Q	Conjunción
˅	O	P ˅ Q	Disyunción
˜	NO	˜ P	Negación
→	Si…entonces	P→Q	Condicional
↔	Si y solo si	P↔Q	Bicondicional

LEYES DE DE MORGAN

Las leyes de Morgan son reglas de inferencia usadas en lógica proposicional, que establecen cuál es el resultado de negar una disyunción y una conjunción de proposiciones o variables proposicionales. Estas leyes fueron definidas por el matemático Augustus De Morgan.

Las leyes de de Morgan consisten en dos equivalencias lógicas entre dos formas proposicionales, a saber:

• ·         La primera ley de De Morgan: afirma que la negación de una conjunción de la forma p⌃q equivale a la disyunción de las proposiciones moleculares negadas. Aquí p y q son proposiciones y el conector ⌃ es una conjunción.
• ·         La segunda ley de De Morgan sostiene que la negación de una disyunción de tipo p v q, donde v indica disyunción, equivale a la conjunción de las proposiciones moleculares negadas. Es decir, siendo p v q dos proposiciones no compuestas cualesquiera, unidas en una proposición molar o compuesta por una conjunción o una disyunción, sus equivalentes lógicos toman la forma de las expresiones.

Estas leyes permiten separar la negación de una disyunción o conjunción, como negaciones de las variables involucradas.

La primera se puede leer de la siguiente manera: la negación de una disyunción es igual a la conjunción de las negaciones. Y la segunda se lee así: la negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones.

En otras palabras, negar la disyunción de dos variables proposicionales equivale a la conjunción de las negaciones de ambas variables. Así mismo, negar la conjunción de dos variables proposicionales es equivalente a la disyunción de las negaciones de ambas variables.

Como se mencionó anteriormente, la sustitución de esta equivalencia lógica ayuda a demostrar resultados importantes, junto con las otras reglas de inferencia existentes. Con estas se pueden simplificar muchas fórmulas proposicionales, de manera que sean más útiles para trabajar.

El siguiente es un ejemplo de una demostración matemática utilizando reglas de inferencia, entre estas las leyes de Morgan. Específicamente, se demuestra que la fórmula:

Es equivalente a: 

Demostración

VARIABLES DE LA CONDICIONAL

La probabilidad condicional puede definirse con diversos grados de formalización. Intuitivamente podemos decir que la probabilidad condicional P(A/B) de un suceso A dado otro suceso B es la probabilidad de que ocurra A sabiendo que B se ha verificado. Desde un punto de vista más formal, se define mediante la expresión: P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B), siempre que P(B) > 0. El primer punto en nuestros estudios fue ver si estas definiciones se comprenden, para lo cual se pidió a los alumnos que dieran de una definición intuitiva de probabilidad simple y de probabilidad condicional.

“En la probabilidad condicional, para que se dé un suceso, se tiene que dar otro”.

Matemáticamente puede deducirse de la regla del producto de probabilidades, mediante la expresión: A y B son independientes si y sólo si P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

EJEMPLO:

a.)    Al 25% de tus amigos le gusta la fresa y el chocolate, mientras que al 60% le gusta el chocolate. ¿Cuál es la probabilidad de que a un amigo que le gusta el chocolate, le guste la fresa?

Solución:
Vamos a trabajar con 2 eventos: que a un amigo le guste la fresa, y que a un amigo le guste el chocolate. 

·         Evento A: que a un amigo le gusten la fresa. P(A) =?

·         Evento B: que a un amigo le guste el chocolate. P(B) = 60 %.

·         Evento A y B: que a un amigo le guste la fresa y el chocolate. P(A∩B) = 25 %.

Ahora calculamos la probabilidad de que a un amigo le guste la fresa, dado que le gusta el chocolate.

La probabilidad de que a un amigo le guste la fresa dado que le gusta el chocolate es del 41,67 %.

b.)    El 76 % de los estudiantes de Ingeniería Civil han aprobado resistencia de materiales y el 45 % aprobaron estática. Además, el 30 % aprobaron resistencia de materiales y estática. Si Camilo aprobó resistencia de materiales, ¿qué probabilidad tiene de haber aprobado también estática?

Solución:
Vamos a trabajar con 2 eventos: aprobar resistencia de materiales, y aprobar estática.

·         Evento A: aprobar resistencia de materiales. P(A) = 76 %.

·         Evento B: aprobar estática. P(B) = 45 %.

·         Evento A y B: aprobar resistencia de materiales y estática. P(A∩B) = 30 %.

Ahora calculamos la probabilidad de aprobar estática, dado que se aprobó resistencia de materiales.

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Estrategia de Resolver una Ecuación

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.

Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores, los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema, o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones.

 Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar (en ecuaciones complejas en lugar de valores numéricos podría tratarse de elementos de un cierto conjunto abstracto, como sucede en las ecuaciones diferenciales). Por ejemplo, en la ecuación algebraica siguiente:

La variable x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.

Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisface. Para el caso dado, la solución es:{\displaystyle x=5}

TIPOS DE ECUACIONES

1. Ecuaciones polinómicas

1.1 Ecuaciones polinómicas enteras

Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio.

1.1.1 Ecuaciones de primer grado o lineales

Son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

(x + 1)2 = x2 - 2

x2 + 2x + 1 = x2 - 2

2x + 1 = -2

2x + 3 = 0

1.1.2 Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Son ecuaciones del tipo ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

ax2 = 0

ax2 + b = 0

ax2 + bx = 0

1.1.3 Ecuaciones de tercer grado

Son ecuaciones del tipo ax3 + bx2 + cx + d = 0, con a ≠ 0.

1.1.4 Ecuaciones de cuarto grado

Son ecuaciones del tipo ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, con a ≠ 0.

Ecuaciones bicuadradas

Son ecuaciones de cuarto grado que no tiene términos de grado impar.

ax4 + bx2 + c = 0, con a ≠ 0.

1.1.5 Ecuaciones de grado n

En general, las ecuaciones de grado n son de la forma:

a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + ...+ a0 = 0

1.2. Ecuaciones polinómicas racionales

Las ecuaciones polinómicas son de la forma:                                     

donde P(x) y Q(x) son polinomios.

1.3. Ecuaciones polinómicas irracionales

Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen al menos un polinomio bajo el signo radical.

2. Ecuaciones no polinómicas

2.1 Ecuaciones exponenciales

Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en el exponente.

2.2 Ecuaciones logarítmicas

Son ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

2.3 Ecuaciones trigonométricas

Son las ecuaciones en las que la incógnita está afectada por una función trigonométrica. Como éstas son periódicas, habrá por lo general infinitas soluciones.

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GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

EL GRÁFICO

A un nivel estadístico y matemático, denominados gráfica a aquella representación visual a partir de la cual pueden representarse e interpretarse valores generalmente numéricos. De entre las múltiples informaciones extraíbles de la observación de la gráfica podemos encontrar la existencia de relación entre variables y el grado en que se da, las frecuencias o la proporción de aparición de determinadas valores.

Esta representación visual sirve de apoyo a la hora de mostrar y comprender de manera sintetizada los datos recabados durante la investigación, de manera que puede tanto los investigadores que llevan a cabo el análisis como otros puedan comprender los resultados y resulte sencillo utilizarlo como referencia, como información a tener en cuenta o como punto de contraste ante la realización de nuevas investigaciones y meta análisis.

TIPOS DE GRÁFICAS

Gráfico de barras

El más conocido y utilizado de todos los tipos de gráficos es el gráfico o diagrama de barras. En éste, se presentan los datos en forma de barras contenidas en dos ejes cartesianos (coordenada y abscisa) que indican los diferentes valores. El aspecto visual que nos indica los datos es la longitud de dichas barras, no siendo importante su grosor.

Gráfico circular o por sectores

El también muy habitual gráfico en forma de “quesito”, en este caso la representación de los datos se lleva a cabo mediante la división de un círculo en tantas partes como valores de la variable investigada y teniendo cada parte un tamaño proporcional a su frecuencia dentro del total de los datos. Cada sector va a representar un valor de la variable con la que se trabaja.

Gráfico de líneas

En este tipo de gráfico se emplean líneas para delimitar el valor de una variable dependiente respecto a otra independiente. También puede usarse para comparar los valores de una misma variable o de diferentes investigaciones utilizando el mismo gráfico (usando diferentes líneas). Es usual que se emplee para observar la evolución de una variable a través del tiempo.

Histograma de frecuencias:

El histograma es un diagrama en forma de columna, muy parecido a los gráficos de barras. Se define como un conjunto de rectángulos paralelos, en el que la base representa la clase de la distribución y su altura la magnitud que alcanza la frecuencia de la clase correspondiente. Son barras rectangulares levantadas sobre el eje de las abscisas del plano cartesiano utilizando escalas adecuadas para los valores que asume la variable en la distribución de frecuencia.

Polígono de frecuencias:

Se utiliza básicamente para mostrar la distribución de frecuencias de variables cuantitativas. Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectángulo de un histograma.

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ESTRATEGIA RESOLVER UN PROBLEMA SIMILAR MÁS SIMPLE

RESOLVER  UN PROBLEMA SIMILAR MÁS SIMPLE

Al tener un problema complejo suele ser de gran ayuda realizar un problema más sencillo que esté relacionado con el que se tiene que resolver, pero que su resolución sea más simple. Esto nos quiere decir que en un problema sencillo similar se pretende buscar una relación o datos parecidos que involucren una idea a la situación que se plantea y estos conocimientos aplicarlos al problema complejo para llegar a la solución final.

La definición anterior nos indica que esta estrategia nos va a ayudar a crear un problema más sencillo de un problema complicado, esto sustituyendo algunos valores (números) en donde se nos haga más sencillo visualizarlo y así realizarlo sin ningún problema, claro está que en el momento que se sustituyen los valores deben ser relacionados con el problema complejo, esto simplemente ayudará a realizar este problema con mayor facilidad y rapidez.

Se podría decir que es una estrategia sencilla de aplicar, sin embargo, si no podemos proyectar un problema sencillo de un problema complejo, podemos dificultarnos más el resolver dicho problema, por lo que hay que concentrarse bien y encontrar las similitudes en los problemas para resolver como se debe el problema que se nos brinde. Hay que saber razonar y plantear un problema de otro. A mi parecer es poder transcribir lo que imaginamos o visualizamos.

Ejemplo:

PESAR MONEDAS: usted tiene 8 monedas. De éstas, siete son auténticas y una es falsa, por ello pesa un poco menos que las demás. Tiene también una balanza de platillos que puede usar sólo tres veces. Diga cómo descubrir la moneda falsa en tres pesajes. Luego muestre cómo detectar la moneda falsa con únicamente dos pesajes. 

1. Entender el problema: se debe determinar la moneda falsa con tres pesajes primero y luego con dos pesajes.

2. Elaborar un plan: se usará la estrategia de resolver un problema similar más simple.

3. Ejecutar el plan: el problema más simple es con tres pesajes; resolveremos ese primero. El más difícil es con dos pesajes; resolveremos ese después. 

- tomamos 4-4 monedas y las colocamos sobre los dos platillos (la que pese menos es donde se encuentra la moneda falsa)

- tomamos ese grupo de 4 monedas y las dividimos en 2, colocamos 2-2 en cada uno de los platillos (el grupo que pese menos es el que contiene la moneda falsa

- dividimos esas dos monedas a la mitad y colocamos 1-1 sobre la balanza, la que pese menos ESA ES LA MONEDA FALSA.

4. Mirar hacia atrás: la estrategia fue de gran utilidad para resolver el problema.

(Con dos pesajes)

- tomamos 6 monedas y las dividimos en dos grupos de 3-3 (2 se quedan afuera) el grupo que pese menos ese contienen la moneda falsa

- tomamos de esas tres monedas dos y las dividimos en dos grupos de 1-1, la que pese menos ESA ES LA MONEDA FALSA

- si al tomar esas dos la balanza queda igual, la moneda que quedó afuera ESA ES LA MONEDA FALSA

si desde el inicio (3-3) la balanza queda igual una de las 2 que excluimos al principio es la falsa, entonces colocamos 1-1 y la que pese menos ESA ES LA MONEDA FALSA

Juicio Crítico.

Esta estrategia es más utilizada para aquellos problemas que al resolverlos por ensayo y error se hacen muy largos; entonces aquí se divide el problema en partes y vamos resolviendo el mismo problema solo que en partes más simples.

 Basándose en  buscar cierto grado de similitud que tiene el problema con uno más fácil  de entender y que tenga una relación para poder comparar el problema.  Teniendo una solución más simple con el fin de buscar una relación o datos parecidos que involucren una idea a la situación que se plantea y ya en base a estos conocimientos aplicarlos para llegar a una solución.

Una forma más fácil  de hacerlo es aplicando el método de Polya; analizando y desarrollando el problema, luego verificando la respuesta. Hasta lograr el objetivo, en sí  la estrategia no puede establecerse como fácil o difícil. Sin embargo, entender de qué trata es bastante sencillo una vez sabiendo lo que el problema inicial nos está pidiendo hallar y resolver.

El tema es bastante práctico y no nos lleva a muchas dudad, es muy preciso y exacto con lo que quiere dar a entender y como cualquier otra estrategia, es muy útil a la hora de resolver de una manera más eficiente un problema de razonamiento.

Definición: Antony Herrera
Ejemplo: Erick Hernández
Juicio Crítico: Ana Velasco

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