RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES

RAZONES

La comparación por cociente entre dos números recibe el nombre de razón geométrica o por cociente. El divisor debe ser necesariamente distinto de cero. En general, si a y b son dos números, la razón entre el par ordenado de números a , b , es el cociente a/b, que se lee a es a b. antecedente , y el número b se llama consecuente . que se lee: “ a es a b ”. El número a recibe el nombre de antecedente y el número b recibe el nombre de consecuente.

Una razón puede expresarse de varias formas: a es a b; 

Cuando la relación se establece entre dos números cuyas cantidades representan medidas de la misma especie, dichos números deben estar expresados en la misma unidad de medida.

Ejemplo de Razón:
En las pasadas elecciones de un pueblo el candidato A obtuvo 4,875 votos a su favor, mientras que el candidato B obtuvo 1,625. ¿En qué proporción están sus respectivas votaciones?

Por definición, debemos dividir al número de votos que obtuvo el candidato A entre el número de votos que obtuvo el candidato B

                 (votos del candidato A)/(votos del candidato B)=4,875/1,625=3

 Este resultado nos indica que el candidato A obtuvo 3 votos para cada voto que obtuvo el candidato B

    (votos del candidato B)/(votos del candidato A )=1,625/4,875=1/3

 La fracción 1/3 nos dice que para cada voto que obtuvo el candidato B, el candidato A obtuvo 3

PROPORCIONES

Cuando la relación se establece entre dos números cuyas cantidades representan medidas de la misma especie, dichos números deben estar expresados en la misma unidad de medida.

La razón de 4 a 6 es, 4/6 es decir 2/3.

La razón de 10 a 15 es, 10/15 es decir 2/3. 

Puesto que las dos razones son iguales, se puede escribir: 

4/6 = 10/15; que se lee: “4 es a 6 como 10 es a 15”.

La proporción también se puede escribir así:  

4:6 5 10:15; que se lee de igual forma.

Propiedad fundamental de las proporciones 

La propiedad fundamental de las proporciones establece que: en toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

a/b = c/d sí y solo sí ad=bc

Las proporciones cuyos medios o extremos son iguales, se llaman proporciones continuas.

En la carretera A pasaron en el mes de diciembre 1200 vehículos y al año han pasado un total de 18000 vehículos. En la carretera B pasaron el mismo mes de diciembre 500 vehículos y al año, han pasado un total de 6500 vehículos.

a) Calcula sus razones las entre el número vehículos al año y el número de vehículos en el mes de diciembre para cada carretera e indica si forman una proporción.

b) ¿Cuántos vehículos deberían haber pasado al año por la carretera A para que las razones de ambas carreteras formen una proporción?

Apartado a:

La razón entre el número vehículos al año y el número de vehículos en el mes de diciembre para la carretera A es:

La razón entre el número vehículos al año y el número de vehículos en el mes de diciembre para la carretera A es:

La misma razón para la carretera B es:

No forman una proporción ya que las razones no son iguales.

Apartado b:

Vamos a calcular la cantidad de vehículos que deberían haber pasado al año por la carretera A, para que ambas razones formen una proporción.

Para ello, igualamos ambas razones para que formen una proporción y al dato de los vehículos al año de la carretera A le llamamos x:

Ahora multiplicamos en cruz:

Despejamos la x y operamos:

Para que ambas razones formen una proporción, deberían haber pasado 15600 vehículos al año por la carretera A.

PORCENTAJES

El porcentaje es la relación que se establece entre un subconjunto n de un conjunto N , multiplicando esta relación por cien. El porcentaje se representa con el símbolo % (porcentaje o tanto por ciento).

Ejemplo de porcentaje:

En un hotel están alojadas 325 personas. De ellas, 39 son italianas, 117 francesas, 78 son alemanas y el resto rusas. Calcula el % que representa cada grupo sobre el total.

 325-100%           (39*100)/325=12% de las personas son italianas.
   39-  x 


325-100%           (117*100)/325= 36% de las personas son francesas.
117-  X

325-100%           (78*100)/325= 24% de las personas son alemanas
  78-  x

325-234= 91 (rusas)

325-100%             (91*100)/325=28% de las personas son rusas
  91- x

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LÓGICA PROPOSICIONAL

LÓGICA PROPOSICIONAL

La lógica proposicional o lógica de orden cero es la rama de la lógica matemática que estudia proposiciones, afirmaciones u oraciones, los métodos de vincularlas mediante conectores lógicos y las relaciones y propiedades que se derivan de esos procedimientos. Es una herramienta útil para razonar, pero no puede resolver problemas que requieren analizar la estructura interna de las proposiciones o de las relaciones entre ellas. Este tipo de lógica considera las proposiciones como elementos atómicos y no tiene cuantificadores o variables de entidad.

CONECTIVOS LÓGICOS

Conectivo	Significado	Proposición Compuesta	Nombre en lógica
˄	Y	P ˄ Q	Conjunción
˅	O	P ˅ Q	Disyunción
˜	NO	˜ P	Negación
→	Si…entonces	P→Q	Condicional
↔	Si y solo si	P↔Q	Bicondicional

LEYES DE DE MORGAN

Las leyes de Morgan son reglas de inferencia usadas en lógica proposicional, que establecen cuál es el resultado de negar una disyunción y una conjunción de proposiciones o variables proposicionales. Estas leyes fueron definidas por el matemático Augustus De Morgan.

Las leyes de de Morgan consisten en dos equivalencias lógicas entre dos formas proposicionales, a saber:

• ·         La primera ley de De Morgan: afirma que la negación de una conjunción de la forma p⌃q equivale a la disyunción de las proposiciones moleculares negadas. Aquí p y q son proposiciones y el conector ⌃ es una conjunción.
• ·         La segunda ley de De Morgan sostiene que la negación de una disyunción de tipo p v q, donde v indica disyunción, equivale a la conjunción de las proposiciones moleculares negadas. Es decir, siendo p v q dos proposiciones no compuestas cualesquiera, unidas en una proposición molar o compuesta por una conjunción o una disyunción, sus equivalentes lógicos toman la forma de las expresiones.

Estas leyes permiten separar la negación de una disyunción o conjunción, como negaciones de las variables involucradas.

La primera se puede leer de la siguiente manera: la negación de una disyunción es igual a la conjunción de las negaciones. Y la segunda se lee así: la negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones.

En otras palabras, negar la disyunción de dos variables proposicionales equivale a la conjunción de las negaciones de ambas variables. Así mismo, negar la conjunción de dos variables proposicionales es equivalente a la disyunción de las negaciones de ambas variables.

Como se mencionó anteriormente, la sustitución de esta equivalencia lógica ayuda a demostrar resultados importantes, junto con las otras reglas de inferencia existentes. Con estas se pueden simplificar muchas fórmulas proposicionales, de manera que sean más útiles para trabajar.

El siguiente es un ejemplo de una demostración matemática utilizando reglas de inferencia, entre estas las leyes de Morgan. Específicamente, se demuestra que la fórmula:

Es equivalente a: 

Demostración

VARIABLES DE LA CONDICIONAL

La probabilidad condicional puede definirse con diversos grados de formalización. Intuitivamente podemos decir que la probabilidad condicional P(A/B) de un suceso A dado otro suceso B es la probabilidad de que ocurra A sabiendo que B se ha verificado. Desde un punto de vista más formal, se define mediante la expresión: P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B), siempre que P(B) > 0. El primer punto en nuestros estudios fue ver si estas definiciones se comprenden, para lo cual se pidió a los alumnos que dieran de una definición intuitiva de probabilidad simple y de probabilidad condicional.

“En la probabilidad condicional, para que se dé un suceso, se tiene que dar otro”.

Matemáticamente puede deducirse de la regla del producto de probabilidades, mediante la expresión: A y B son independientes si y sólo si P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

EJEMPLO:

a.)    Al 25% de tus amigos le gusta la fresa y el chocolate, mientras que al 60% le gusta el chocolate. ¿Cuál es la probabilidad de que a un amigo que le gusta el chocolate, le guste la fresa?

Solución:
Vamos a trabajar con 2 eventos: que a un amigo le guste la fresa, y que a un amigo le guste el chocolate. 

·         Evento A: que a un amigo le gusten la fresa. P(A) =?

·         Evento B: que a un amigo le guste el chocolate. P(B) = 60 %.

·         Evento A y B: que a un amigo le guste la fresa y el chocolate. P(A∩B) = 25 %.

Ahora calculamos la probabilidad de que a un amigo le guste la fresa, dado que le gusta el chocolate.

La probabilidad de que a un amigo le guste la fresa dado que le gusta el chocolate es del 41,67 %.

b.)    El 76 % de los estudiantes de Ingeniería Civil han aprobado resistencia de materiales y el 45 % aprobaron estática. Además, el 30 % aprobaron resistencia de materiales y estática. Si Camilo aprobó resistencia de materiales, ¿qué probabilidad tiene de haber aprobado también estática?

Solución:
Vamos a trabajar con 2 eventos: aprobar resistencia de materiales, y aprobar estática.

·         Evento A: aprobar resistencia de materiales. P(A) = 76 %.

·         Evento B: aprobar estática. P(B) = 45 %.

·         Evento A y B: aprobar resistencia de materiales y estática. P(A∩B) = 30 %.

Ahora calculamos la probabilidad de aprobar estática, dado que se aprobó resistencia de materiales.

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Estrategia de Resolver una Ecuación

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.

Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores, los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema, o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones.

 Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar (en ecuaciones complejas en lugar de valores numéricos podría tratarse de elementos de un cierto conjunto abstracto, como sucede en las ecuaciones diferenciales). Por ejemplo, en la ecuación algebraica siguiente:

La variable x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.

Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisface. Para el caso dado, la solución es:{\displaystyle x=5}

TIPOS DE ECUACIONES

1. Ecuaciones polinómicas

1.1 Ecuaciones polinómicas enteras

Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio.

1.1.1 Ecuaciones de primer grado o lineales

Son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

(x + 1)2 = x2 - 2

x2 + 2x + 1 = x2 - 2

2x + 1 = -2

2x + 3 = 0

1.1.2 Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Son ecuaciones del tipo ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

ax2 = 0

ax2 + b = 0

ax2 + bx = 0

1.1.3 Ecuaciones de tercer grado

Son ecuaciones del tipo ax3 + bx2 + cx + d = 0, con a ≠ 0.

1.1.4 Ecuaciones de cuarto grado

Son ecuaciones del tipo ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, con a ≠ 0.

Ecuaciones bicuadradas

Son ecuaciones de cuarto grado que no tiene términos de grado impar.

ax4 + bx2 + c = 0, con a ≠ 0.

1.1.5 Ecuaciones de grado n

En general, las ecuaciones de grado n son de la forma:

a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + ...+ a0 = 0

1.2. Ecuaciones polinómicas racionales

Las ecuaciones polinómicas son de la forma:                                     

donde P(x) y Q(x) son polinomios.

1.3. Ecuaciones polinómicas irracionales

Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen al menos un polinomio bajo el signo radical.

2. Ecuaciones no polinómicas

2.1 Ecuaciones exponenciales

Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en el exponente.

2.2 Ecuaciones logarítmicas

Son ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

2.3 Ecuaciones trigonométricas

Son las ecuaciones en las que la incógnita está afectada por una función trigonométrica. Como éstas son periódicas, habrá por lo general infinitas soluciones.

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